魏尔斯特拉斯函数的构造
魏尔斯特拉斯的原作中给出的构造是：其中0
这个函数以及它处处连续而又处处不可导的证明首次出现在魏尔斯特拉斯于1872年6月18日在普鲁士科学院出版的一篇论文中。
证明这个函数处处连续并不困难。由于无穷级数的每一个函数项的绝对值都小于常数，而正项级数是收敛的。由Weierstrass判别法可以知道原级数一致收敛。因此，由于每一个函数项都是 R 上的连续函数，级数和 f(x) 也是 R 上的连续函数。
证明函数处处不可导：对一个给定的点 x∈R，证明的思路是找出趋于 x 的两组不同的数列() 和()，使得
lim inf> lim sup
这与函数可导的定义矛盾，于是证明完毕。
一般人会直觉上认为连续的函数必然是近乎可导的。即使不可导，所谓不可导的点也必然只占整体的一小部分。根据魏尔斯特拉斯在他的论文中所描述，早期的许多数学家，包括高斯，都曾经假定连续函数不可导的部分是有限或可数的。这可能是因为直观上想象一个连续但在不可数个点上不可导的函数是很困难的事。当我们绘制函数的图像时，总会画出较为规则的图形，例如满足利普希茨条件的函数图像。
魏尔斯特拉斯函数可以被视为之一个分形函数，尽管这个名词当时还不存在。将魏尔斯特拉斯函数在任一点放大，所得到的局部图都和整体图形相似。因此，无论如何放大，函数图像都不会显得更加光滑，也不存在单调的区间。
魏尔斯特拉斯函数的介绍
在数学中,魏尔斯特拉斯函数(Weierstrass function)是一类处处连续而处处不可导的实值函数。魏尔斯特拉斯函数是一种无法用笔画出任何一部分的函数，因为每一点的导数都不存在，画的人无法知道每一点该朝哪个方向画。魏尔斯特拉斯函数的每一点的斜率也是不存在的。魏尔斯特拉斯函数得名于十九世纪的德国数学家卡尔·魏尔斯特拉斯(Karl Theodor Wilhelm Weierstrass ; 1815–1897)。历史上，魏尔斯特拉斯函数是一个著名的数学反例。魏尔斯特拉斯之前，数学家们对函数的连续性认识并不深刻。许多数学家认为除了少数一些特殊的点以外，连续的函数曲线在每一点上总会有斜率。魏尔斯特拉斯函数的出现说明了所谓的“病态”函数的存在性，改变了当时数学家对连续函数的看法。
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卡尔·特奥多尔·威廉·魏尔施特拉斯的学术贡献
1、在解析函数方面
他用幂级数来定义解析函数，并建立了一整套解析函数理论，与柯西（Cauchy，Augustin-Louis ，1789.8.21-1857.5.23）、黎曼（Riemann，Georg Friedrich Bernhard ，1826.9.17-1866.7.20）一起被称为函数论的奠基人。从已知的一个在限定区域内定义一个函数的幂级数出发，根据幂级数的有关定理，推导出在其它区域中定义同一函数的另一些幂级数，这是他的一项重要发现。他把整函数定义为在全平面上都能表示为收敛的幂级数的和的函数；还断定，若整函数不是多项式，则在无穷远点有一个本性奇点。魏尔斯特拉斯关于解析函数的研究成果，组成了现今大学数学专业中复变函数论的主要内容。
2、在椭圆函数方面
椭圆函数是双周期亚纯函数，是从求椭圆弧长引起的。有关研究是19世纪的热门课题。继阿贝尔、雅克比之后，魏尔斯特拉斯在这方面作出了巨大贡献。1882年，他将椭圆函数分别化成含有一个三次多项式的平方根的3个不同形式，把通过“反演”的之一个积分所得的椭圆函数作为基本的椭圆函数，还证明了这是最简单的双周期函数。他证明了每个椭圆函数均可用这个基本椭圆函数和它的导函数简单地表示出来。总之，魏尔斯特拉斯把椭圆函数论的研究推到了一个新的水平，进一步完备了、改写了、并且美化了其理论体系。
3、在代数领域
1858年，他对同时化两个二次型成平方和给出了一般 *** ，并证明了若二次型之一是正定的，即使某些特征值相等，这个化简也是可能的。1868年，他已完成二次型的理论体系，并将这些结果推广到了双线性型。
4、在变分学方面
1879年，他证明了弱变分的3个条件，即函数取得极小值的充分条件。此后，他转向了强变分问题，并得到了强变分的极大值的充分条件。在变分学方面还得到了不少的其它成果。
5、在微分几何方面
魏尔斯特拉斯研究了侧地线和最小曲面。
6、在数学分析方面
在数学史上，魏尔斯特拉斯关于分析严格化的贡献使他获得了“现代分析之父”的称号。他是把严格的论证引进分析学的一位大师，为分析严密化作出了不可磨灭的贡献，是分析算术化运动的开创者之一。这种严格化的突出表现是创造了一套语言，用以重建分析体系。他批评柯西等前人采用的“无限地趋近”等说法具有明显的运动学含义，代之以更严密的 表述，用这种方式重新定义了极限、连续、导数等分析基本概念，特别是通过引进以往被忽视的一致收敛性而消除了微积分中不断出现的各种异议和混乱。可以说，数学分析达到今天所具有的严密形式，本质上归功于魏尔斯特拉斯的工作。
他证明了（1860）：任何有界无穷点集，一定存在一个极限点。早在1860年的一次演讲中，他从自然数导出了有理数，然后用递增有界数列的极限来定义无理数，从而得到了整个实数系。这是一种成功地为微积分奠定理论基础的理论。
为了说明直觉的不可靠，1872年7月18日魏尔斯特拉斯在柏林科学院的一次讲演中，构造了一个连续函数却处处不可微的例子，由此一举改变了当时一直存在的“连续函数必可导”的重大误解，震惊了整个数学界！这个例子推动了人们去构造更多的函数，这样的函数在一个区间上连续或处处连续，但在一个稠密集或在任何点上都不可微，从而推动了函数论的发展。
早在1842年，魏尔斯特拉斯就有了一致收敛的概念，并利用这一概念给出了级数逐项积分和在积分号下微分的条件。
1885年，魏尔斯特拉斯所证明的用多项式任意逼近连续函数的定理，是二十世纪的一个广阔研究领域函数构造论，即函数的逼近与插值理论的出发点之一。
另外，魏尔斯特拉斯还研究了天文学中的n体问题和光的理论。
数学 设f(x)为魏尔斯特拉斯函数，xf(x)在x=0处是否可导？
更好有证明，谢谢！可导 令F(X)=xf(x) 则F‘(0)=limx趋近于0时（F(X)-F(0)）/（x-0)=limx趋近于0时xf(x)/x=limx趋近于0时f(x) 因为f(x)连续 所以F‘(0)=f(0)
求详解一下狄利克雷函数和魏尔斯特拉斯函数.但是对这两种函数感兴趣,希望可以详解一...
求详解一下狄利克雷函数和魏尔斯特拉斯函数.但是对这两种函数感兴趣,希望可以详解一下,说得通俗一点.
一、实数域上的狄利克雷（Dirichlet）函数定义为分段函数：D(x) = 0 (x是无理数) 1 (x是有理数)1、定义域 R ,值域 {0,1}2、奇偶性∵ x 和 -x 同为有理数或同为无理数∴ D(-x) = D(x)又定义域是 R故 为偶函数3、周期性对于无理数T当x为有理数时,x+T是无理数,D(x+T) ≠ D(x)∴无理数不是周期对于任意非零有理数 T,若x是有理数,则x+T也是有理数,D(x+T) = D(x) = 1若x是无理数,则x+T也是无理数,D(x+T)= D(x) = 0故 周期为任意非零有理数.4、连续性连续性是高数里的概念,通俗的说就是函数的每个点是连在一起的.例如 y=x在R上是连续的,y=1/x 在x=0处不连续,但在[1,2] 这样的区间是连续的.狄利克雷函数在每一处都是不连续的.因此我们无法画出它的图像.5、可导性通俗的说,可导就是在某一点是平滑的,例如y=x²图像上的点,都是可导的y=|x| 在 x=0处是不可导的,在其他点是可导的.狄利克雷函数处处不可导.二、魏尔斯特拉斯函数(Weierstrass function)是一类处处连续而处处不可导的实值函数.将魏尔斯特拉斯函数在任一点放大,所得到的局部图都和整体图形相似.因此,无论如何放大,函数图像都不会显得更加光滑,也不存在单调的区间.你可以想象一下,函数的每一个点都是像y=|x| 在 x=0的那个点.
